Немного математики: циклы и квадрики

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

6 Немного математики: циклы и квадрики

Можно начать работу с графической оболочкой на интуитивном уровне отмечая сходства и различия с более привычной всем Евклидовой геометрией. Для более глубокого понимания, однако, стоит обратится к точным математическим формулировкам. Понятие цикла, ключевое для пакета MoebInv, иллюстрируется в интерактивной записной книжке Jupyter What is a cycle?

6.1 Пространство точек и пространство циклов

Для простоты начнём со знакомой ситуации с окружностями. Чертёж в оболочке Yaglom представляет двумерную плоскость с координатами (x,y). Мы будем называть её пространство точек.

Окружность с центром (x₀,y₀) и радиусом r задаётся уравнением

(x−x₀)²+(y−y₀)²=r². (2)

Его можно немного преобразовать:

x²+y²−2x₀x−2y₀y+m=0 where m=x₀²+n²−r². (3)

Удобно использовать четыре параметра (k,l,n,m), что бы представить окружность уравнением

k(x²+y²)−2lx−2ny+m=0 . (4)

Ясно, что коэффициенты (k,l,n,m) и (λ k, λ l, λ n, λ m) для ненулевого вещественного числа λ соответствуют той же окружности и будут считаться эквивалентными. Так что окружности могут рассматриваться с различных точек зрения:

геометрическое место точек (u,v) удовлетворяющих уравнению (4);
классы эквивалентности коэффициентов (λ k, λ l, λ n, λ m), λ ≠ 0 уравнения (4).

Первый подход мы уже обозначили как пространство точек, второй мы будем называть пространство циклов.

6.2 Эллиптическая, параболическая и гиперболическая метрики и произведение циклов

Интересное обобщение уравнения (4) возникает, если определить цикл уравнением

k(x² − σ y²)−2lx−2ny+m=0 , где σ =−1,  0, или 1. (5)

То есть для трёх выбранных значений параметра σ получаются уравнения окружностей, парабол и гипербол соответственно. Поэтому мы будем их называть эллиптическая, параболическая, и гиперболическая метрики в пространстве точек .

Оказывается в пространстве циклов так же можно ввести эти три типа метрик. Это делается посредством произведения двух циклов C₁ и C₂ заданного выражением

⟨C₁,′ ₂⟩_σ =−2l₁ l₂+ 2 σn₁ n₂+m₁k₂+m₂k₁ . (6)

Отметим следующие важные свойства:

Симметричность: ⟨C₁,′ ₂⟩ = ⟨C₂,′ ₁⟩.
Линейность в коэффициентах цикла C₁ так же как и C₂.
Инвариантность при дробно-линейнойном преобразовании F, то есть: ⟨FC₁,F′ ₂⟩_σ = ⟨C₁,′ ₂⟩_σ если σ=σ.
Инвариантность при преобразовании Мёбиуса M∈SL₂(ℝ) (то есть дробно-линейном преобразовании с действительными коэффициентами) для всех девяти независимых комбинаций значений σ и σ, см. [3, § 5.2].

Три значения σ =−1, 0, и 1 в произведении циклов (6) называются эллиптической, параболической и гиперболической метрикой в пространстве циклов , соответственно. Графическая оболочка Yaglom позволяет переключать значения метрик в пространстве точек и циклов в любой момент работы с фигурами.

6.3 Из пространства циклов в пространство точек и обратно

Нам нужен словарик для перевода геометрических понятий в пространстве точек на язык результатов в пространстве циклов и наоборот. Центральное место здесь занимает произведение циклов (6). Вполне ожидаемо, мы будем называть отношение ⟨C₁,′ ₂ ⟩=0 ортогональностью циклов C₁ и C₂. Если метрики пространств точек и циклов совпадают, тогда ортогональность циклов выражается в ортогональности соответствующих квадрик в пространстве точек.

Как уже отмечалось ранее, ортогональность является линейным условием на коэффициенты цикла. Однако другие отношение циклов, например касание, включают более высокие степени произведений циклов и будут нелинейными. Разрешение уравнений представляющих список отношений существенно облегчается следующим наблюдением: все нелинейные отношения между циклами линеаризуются если наложить дополнительное квадратичное условие на коэффициенты искомого цикла:

⟨
⟨

C,C

⟩
⟩

=±1. (7)

Произведение циклов задаёт и другие отношения из § 2.4.

Цикл является прямой при выполнении таких эквивалентных условий:
1. коэффициент k нулевой;
2. цикл ортогонален ⟨C₁,′ _∞ ⟩=0 к <<циклу нулевого ра в бесконечности>> ′ _∞=(0,0,1).
Цикл является прямой в геометрии Лобачевского если она ортогональна ⟨C₁,′ _ℝ ⟩=0 к действительной оси C_ℝ.
Цикл представляет точку, то есть имеет нулевой радиус в метрике пространства точек, если он ортогонален к самому себе: ⟨C,′ ⟩=0. Конечно, такой цикл не может быть нормализован к условию (7).
Два цикла ортогональны в пространстве точек если циклы ортогональны в смысле произведения циклов (6).
Два цикла C и ′ касаются при выполнении следующего квадратичного соотношения:
⟨
⟨ C,G ⟩
⟩ ² = ⟨
⟨ C,C ⟩
⟩ ⟨
⟨ G ,G ⟩
⟩ ⎛
⎝ или ⎡
⎣ C,G ⎤
⎦ =± 1 ⎞
⎠ . (8)

Предполагая нормализацию (7) цикла C можно условия переписать в линейной форме:
⟨
⟨ C,G ⟩
⟩ = ± √

⟨
⟨ G ,G ⟩
⟩

. (9)

Противоположные знаки соответствуют внутреннему и внешнему касанию.
Инверсионное расстояние θ двух циклов ненулевого радиуса определяется так:
⟨
⟨ C,G ⟩
⟩ = θ √

⟨
⟨ C,C ⟩
⟩

√

⟨
⟨ G ,G ⟩
⟩

(10)

В частности ортогональность соответствует значению θ=0 а касание—θ=±1. Для пересекающихся окружностей θ определяется косинусом угла касательных в точке пересечения. В остальных метриках эта интерпретация допускает соответствующие изменения.
Отношение <<иметь заданное инверсионное расстояние>> к определенному циклу является нелинейным, но может быть опять линеаризовано дополнительным условием нормализации (7).
Обобщённая степень Штейнера d двух циклов определяется как [1, § 1.1]:
d= ⟨
⟨ C,G ⟩
⟩ + √

⟨
⟨ C,C ⟩
⟩

√

⟨
⟨ G ,G ⟩
⟩

, (11)

когда оба цикла заданы коэффициентами со значением 1 перед квадратичными членами. Геометрически, обобщённая степень Штейнера представляет квадрат длины отрезка общей касательной двух циклов (квадрат касательного расстояния).
Как и два предыдущих это нелинейное отношение линеаризуется дополнительной нормализацией (7). Для этого заменим цикл C нормализованным C₁=1/√⟨C,C ⟩C удовлетворяющим (7), тогда равенство (11) преобразуется в:
d· k= ⟨
⟨ C₁,G ⟩
⟩ + √

⟨
⟨ G ,G ⟩
⟩

, (12)

где k=1/√⟨C,C ⟩ является коэффициентом перед квадратичными членами цикла C₁. Последнее равенство линейно в смысле коэффициентов цикла C₁.
A двойное отношение циклов четырёх циклов C₁, C₂, C₃ and C₄ is:
[C₁, C₂; C₃, C₄]=
⟨
⟨ C₁,C₃ ⟩
⟩

⟨
⟨ C₁,C₄ ⟩
⟩

:
⟨
⟨ C₂,C₃ ⟩
⟩

⟨
⟨ C₂,C₄ ⟩
⟩

(13)

предполагая, что ⟨C₁,C₄ ⟩ ⟨C₂,C₃ ⟩ ≠ 0. Обсуждение этого отношения может быть найдено в [10, 9].

Итожа: Если новый цикл задаётся какой-то комбинацией выше приведённых отношений, тогда коэффициенты нового цикла могут быть найден из системы линейных уравнений и не более одного уравнения второго порядка для нормализации (7).