Краткое введения в богатый мир отношений

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

2 Краткое введения в богатый мир отношений

Мы приводим сжатый (но полный) обзор отношений между циклами и некоторые примеры, как различные геометрические свойства могут быть ими выражены. Математические аспекты отношений будут обсуждаться в § 6.3.

Новый цикл может быть добавлен к фигуре прямым заданием всех своих коэффициентов. Этот непосредственный путь вряд ли требует детальных пояснений.

Интереснее разобраться, как определить новый цикл перечисляя все его отношения к уже существующим циклам и самому себе. Таким образом фигура строится как цепочка взаимосвязанных циклов. И отношения между циклами являются главным связующим материалом. Примеры списков отношений для типичных конструкций приведены в § 2.5.

Отношения реализованные в библиотеке MoebInv относятся к одному из трёх следующих видов:

Свойственные отношения налагают какие-то геометрические условия на цикл. Алгебраически они зачастую выражаются некоторым соотношением(ями) коэффициентов вовлечённых циклов. Как правило, для полного задания нового цикла требуется несколько свойственных отношений и/или их комбинация с отношениями других видов. Самый ходовой представитель свойственных отношений это ортогональность (⊥), см. § 2.1.
Строящие отношения, как правило, целиком определяют новый цикл самостоятельно или совместно с отношениями отбора (следующий вид). Примером строящего отношения служит «быть отражением» одного цикла в другом цикле (⟃).
Исключающие отношения отсеивают циклы определённого типа, например, только со всеми действительными коэффициентами. Обычно такие отношения не используются сами по себе а выступают дополнительным фильтром к отношениям предыдущих двух видов.

Типичный список отношений для задания нового цикла может вкратце может быть представлен так:

(несколько свойственных или одно строящее) и возможно исключающее(ие) отношения.

Порядок задания отношений в списке не играет существенной роли. Некоторые отношения каждого вида могут требовать дополнительных параметров.

Все отношения, за исключением четырёх исключающих—Только действительные коэффициенты (ℜ), Только численные коэффициенты (½), Положительно ориентирован (⇧) или Отрицательно ориентирован (⇩)—могут соотносить новый цикл к уже существующим и могут быть заданы из контекстного меню такого цикла (Правый щелчок мыши).

Кроме четырёх выше указанных исключений, ещё и следующие отношения цикла к самому себе имеют смысл:

Ортогонально (⊥);
f-Ортогонально (⋋);
Отношение двух произведений (⋇);
Знак произведения (±);
Выбор ориентации Положительно ориентирован (⇧) Отрицательно ориентирован (⇩) .

Поэтому все они помещены в меню Новый цикл ↷ на панели инструментов для возможности задания этих отношений нового цикла к самому себе.

2.1 Свойственные отношения и распространённые геометрические свойства

Наиболее используемое свойственное отношение это Ортогонально (⊥), многие обычные геометрические свойства могут быть описаны им:

Геометрическое свойство	Отношение	Линейно?
Цикл L является прямой	L Ортогонально (⊥) к бесконечности (infty=∞)	✔
Цикл L является прямой Лобачевского	L Ортогонально (⊥) к the действительной оси (R=ℝ)	✔
Цикл A является точкой	A Ортогонально (⊥) к себе	✘
Цикл C проходит через точку A	C Ортогонально (⊥) к A	✔
Прямая L₁ параллельна прямой L₂	L₁ Касается так-и-этак (⩈) к l₂	✘

Обычно, для задания нового цикла на плоскости достаточно списка из трёх (независимых) свойственных отношений, например:

Геометрический предмет	Список отношений
Прямая L проходит через точки A и B	{L ⊥ ∞, L ⊥ A, L ⊥B}
Точка P является пересечением циклов C и D	{P ⊥ P, P ⊥ C, P ⊥ D}
Цикл C с центром в A проходит через B	{C ♓{A,∞}, C ⊥ B}

В первом случае все три отношения задаются линейными соотношениями (см. предыдущую таблицу), поэтому в общем случае существует единственное решение. Во втором случае отношение само-ортогональности (P ⊥ P) квадратично, поэтому могут получится два экземпляра точки P. В третьем случае отношение «быть в пучке» (♓) натянутом на циклы A и ∞ определяет циклы концентричные с A (в частности с центром в A, если A—точка). Это отношение оставляет только одну степень свободы, поэтому уже второе отношение ортогональности (C ⊥ B) однозначно определяет цикл C.

Остальные свойственные отношения таковы:

f-Ортогонально (⋋);
Касание так-и-этак (⩈) с подразделением на Касание внутреннее (⋐) и Касание внешнее (⫓);
Степень Штейнера (Ⓢ);
Касательное расстояние (⦻);
Арккосинус угла пересечения (∠);
Отношение двух произведений (⋇);
Двойное отношение циклов; (∺),
В пучке (♓).

Их свойства будут указаны далее.

2.2 Строящие отношения

Отношение этого вида непосредственно производит новый цикл по предоставленной информации. А именно:

Сопряжение цикла C₁ с циклом C₂, которое геометрически соответствует отражению (инверсии) C₁ в “зеркале” C₂. Цикл C₂ может быть произвольно задан своими коэффициентами (Отражение в некотором цикле (⊚) ) или это может быть уже построенный цикл указанный своей меткой (Отражение в поименованном цикле (⟃)).
Дробно-линейное преобразование (⧉) уже построенного цикла посредством заданной 2× 2 комплексной матрицы.
SL₂(ℝ) преобразование Мёбиуса (⊞) уже построенного цикла посредством заданной 2× 2 действительной матрицы.
Выбор среди нескольких экземпляров существующего цикла одного Номерного экземпляра (#). (Множественные экземпляры появляются, как правило, от нелинейных свойственных отношений, например, точки пересечения двух окружностей).

2.3 Исключающие отношения

Часто необходимо налагать дополнительные условия, которые отсекают решения с нежелательными свойствами. К примеру список

{P ⊥ P, P ⊥ L₁, P ⊥ L₂, P≠∞}

определяет единственную (в общем случае) точку пересечения двух прямых L₁ и L₂ в конечной части плоскости. Последнее отношение P≠∞ (т.е. P является Отличающийся от бесконечности ∞) как раз исключает бесконечность, которая является общей точкой любых двух прямых.

Отношения этого вида таковы:

Новый цикл является Отличающийся (≠) от указанного уже существующего цикла;
Приближённая вариант предыдущего отношения Явно отличающийся (≄) для вычислений с плавающей запятой.
Новый цикл должен иметь Только действительные коэффициенты (ℜ).
Новый цикл должен иметь Только численные коэффициенты (½) (без символьных переменных).
Новый цикл должен иметь определённый Знак произведения (±) в произведении с другим циклом.
Новый цикл должен иметь определённую ориентацию: Положительно ориентирован (⇧) или Отрицательно ориентирован (⇩). .

2.4 Список всех используемых отношений

Кроме принадлежности к одному из трёх видов отношения отличаются ещё рядом важных свойств:

Отношения могут соотносить новый цикл к разному числу уже созданных циклов (на данный момент от 0 до 3).
Отношение может или нет требовать дополнительные параметры.
Отношения могут или нет иметь смысл по отношению к самому себе.
Отношения могут или нет зависеть от используемой метрики: эллиптической, параболической или гиперболической.

Дополнительно к этому свойственные отношения

сводятся к некоторым уравнениям на коэффициенты цикла, которые могут быть линейными или более высокого порядка.

В случае только линейных уравнений их разрешение намного более простая задача, в обратном случае могут быть множественные решения. Отметим, что любое свойское отношение цикла к самому себе будет нелинейным.

Далее мы приводим таблицы описывающие все указанные свойства используемых отношений. В колонках для каждого отношения указаны:

Пиктограмма отношения.
Пар: требуемое число параметров.
Цикл: требуемое число дополнительных циклов. Если цикл может быть в этом отношении к самому себе, то это указано символом ↶. Такие отношения используются в кнопке Новый цикл ↷ на панели инструментов.
Лин? линейно отношение или нет.
Метрика? зависит ли отношение от используемой метрики.
Название отношения.

Графическая оболочка должна работать соответственно с каждым отношением.

2.4.1 Сводка для свойственных отношений

	Пар	Циклов	Лин?	Метрика?	Название
⊥	0	+1 ↶	✔	✅	Ортогонально
⋋	0	+1 ↶	✔	✅	f-Ортогонально
♓	0	+2	✔		В пучке
⋇	1	+2 ↶	✔^(*)	✅	Отношение двух произведений
∺	1	+3 ↶	✔^(*)	✅	Двойное отношение циклов
⟗	1	+7 ↶	✔^(*)	✅	Курс двух отношений циклов
Ⓢ	1	+1	✘	✅	Степень Штейнера
⦻	1	+1	✘	✅	Касательное расстояние
∠	1	+1	✘	✅	Арккосинус угла пересечения
⩈	0	+1	✘	✅	Касание так-и-этак
⋐	0	+1	✘	✅	Касание внутреннее
⫓	0	+1	✘	✅	Касание внешнее

^(*) Замечание: отношение может стать нелинейным если новый цикл подставляется в него больше одного раза, т.е. соотносится к себе самому.

2.4.2 Свойства строящих отношений

Ни одно строящее отношение не может связать новый цикл с самим собой. Ниже приведены число действительных параметров, других циклов и зависимость от метрики для отношений этого вида.

	Пар	Циклов	Метрика?	Название
⧉	8	+1	✅	Дробно-линейное преобразование
⊞	4	+1	✅	SL(2,R) Мёбиусово преобразование
⊚	4	+2	✅	Отражение в некотором цикле
⟃	0	+2	✅	Отражение в поименованном цикле
#	1	+1		Номерной экземпляр

2.4.3 Свойства исключающих отношений

Последние пять отношений могут отнести новый цикл к самому себе, поэтому они доступны в кнопке Новый цикл ↷ на панели инструментов. Последние четыре—не требуют дополнительных параметров и других циклов. Это сведено в следующей таблице:

	Пар	Циклов	Метрика?	Название
≠	0	+1		Отличающийся
≄	0	+1		Явно отличающийся
±	1	+1 ↶	✅	Знак произведения
½	0	+0 ↶		Только численные коэффициенты
ℜ	0	+0 ↶		Только действительные коэффициенты
⇧	0	+0 ↶		Положительно ориентирован
⇩	0	+0 ↶		Отрицательно ориентирован

2.5 Несколько простых примеров

Многие типичные конструкции могут быть заданы соответствующим списком отношений. Несколько таких примеров приведёны в таблице ниже. В ней мы используем символ @ для обозначения отношения вновь создаваемого цикла к самому себе.

Конструкция	Список отношений циклов
Окружность через три точки A, B, C	ортогонально к A ортогонально к B ортогонально к C
Прямая через две точки A, B	ортогонально к A ортогонально к B ортогонально к ∞
Точка пересечения прямых/окружностей a, b	ортогонально к a ортогонально к b ортогонально к себе только для прямых: отличается от ∞
Перпендикуляр из точки A к прямой a	ортогонально к A ортогонально к a ортогонально к ∞
Прямая через точку A параллельная прямой a	ортогонально к A ортогонально к ∞ касательно к a
Серединная точка отрезка [A,B]	ортогонально к прямой AB ортогонально к себе значение двойного отношения ⟨ @, ∞; A, B ⟩ =1 отличается от ∞
Окружность с центром O через точку A	в пучке натянутом O и ∞ ортогонально к A
Центр окружности a	в пучке натянутом a и ∞ ортогонально к себе отличается от ∞
Серединный перпендикуляр отрезка [A,B]	в пучке натянутом A и B ортогонально к ∞
Биссектриса угла между прямыми a и b	в пучке натянутом a и b курс двойных отношений ⟨ @, a; a, @ ⟩ = ⟨ @, b; b, @ ⟩

Пользователь приглашается исследовать, что получится в результате, если в предыдущих отношениях точки или прямые будут заменены на другие циклы (окружности).